Математическая Логика - это...

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА - один из ведущих разделов современной логики и математики Сформировался в 19-20 ст как реализация идеи о возможности записать все исходные допущения на языке знаков, аналогичных математическим и тем самым заменить рассуждения вычислениями Предыстория МЛ связана с именами Аристотеля, Р Луллия, Дж Буля (1815-1864), создавшего ее аппарат; Фреге, развившего логико-математические языки; Дж Пеа-но (1858-1932), попытавшегося изложить разделы математики на языке логики В основании всех исканий лежало стремление создать специальное счетное устройство (прообраз компьютерных систем) и соответствующий техническим вычислениям язык передачи информации Второй важной проблемой МЛ является выбор исходных понятий и их обоснование В конце 19 ст казалось, что исходным может быть понятие множества; эта точка зрения была детерминирована эффектом от самого факта появления теории множеств как новой области математики (Б Больцано, Г Кантор) Рефлексия над феноменом множеств привела к обнаружению парадоксов в теории множеств (Одним из тех, кто пытался "спасти" математику от этой проблемы был Д Гильберт) С 20-х 20 в начинается современный этап развития МЛ Он связан с применением точных методов при изучении формальных аксиоматических задач Суть их состоит в описании рассматриваемой теории на базе строгого логико-математического языка (формализация), с последующими процедурами логического анализа теории, а именно с точки зрения непротиворечивости (например, таких теорий, как элементарная геометрия, арифметика, анализ достаточно надежных оснований) и полноты (теорема Геделя о неполноте утверждает, что всякая достаточно богатая теория необходимо содержит утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, не опровергнув самой теории) Критике подверглись некоторые положения, используемые в математике без должного обоснования (закон исключенного третьего, аксиомы выбора и др) Построение математики с учетом этих ограничений стало программой интуиционизма (один из авторов Я Брадэр), конструктивизма (АА Марков) Основным объектом современной МЛ являются исчисления В качестве их компонентов выступают: 1) язык (формальный); 2) аксиомы; 3) правила вывода На их основе стало возможным дать точное определение доказательства, получить точные утверждения о невозможности доказательства тех или иных предложений теории Значительным достижением является и математическое определение понятия алгоритма (эффективной процедуры для решения задач из бесконечного класса задач) Еще Лейбниц мечтал о нахождении алгоритма для решения всех математических проблем Разработка теории алгоритма связана с именами К Геделя, Ж Эрбрана, С Кли-ни, А Тьюринга, А Черча, АА Маркова, АН Колмогорова, ПС Новикова и др МЛ имеет несколько разделов, связанных с изучением понятия доказательства (теория доказательств), моделей (теория моделей - Тарский, АИ Мальцев) В ней очевидны синтаксический и семантический аспекты изучения формальных языков Перспективы развития МЛ предполагают высокую динамику как количественного, так и качественного роста кибернетических устройств Другим стимулом являются достижения в разработке проблем обоснования математики (современный аксиоматический метод)