Алгебра Буля - это...

Алгебра Буля — исторически первый раздел математической логики, разработанный ирландским логиком и математиком Дж. Булем в середине XIX в. Буль применил алгебраические мето­ды для решения логических задач и сформулировал на языке ал­гебры некоторые фундаментальные законы мышления. Буль представляет логику как алгебру классов (будем обозначать их символами А, В, С,...). Основными операциями в А. Б. являются: сложение классов Ae.B; умножение классов АcВ; дополнение класса А'. Свойства этих операций описываются следующими ак­сиомами: la. Ae(BeC)=(AeB) eC — ассоциативность сложения; 16. Ac(BcC)= (AcВ) eC — ассоциативность умножения; 2a.AeB= BeA                 — коммуникативность сложения; 2б.АcВ =ВcА — коммуникативность умножения; 3a.Ae(ВcС)= =(AeB) c(AeC) — дистрибутивность сложения относительно умножения; 36.Ac(BeC)==(AcB) e(AcC) — дистрибутивность умножения относительно сложения. В А. Б. существуют два элемента 0 и 1, операции с которыми подчиняются следующим соотношениям: Ae0=A; Ac1=A; AeA'=1; AcA'=0. Характерная особенность А.Б. заключается в том, что в ней от­сутствуют коэффициенты и показатели степеней. Сумма двух А равна А: АeА=А, а не 2А, как в обычной алгебре. Точно так же и произведение двух A равно A: АcА=А, а не A2. Важным законом А. Б. является принцип двойственно­сти, согласно которому если в некотором справедливом равен­стве мы заменим все вхождения e на c и c на e, 1 на 0 и 0 на 1, то получим равенство, двойственное первому и также справедли­вое. Примерами двойственных равенств являются приведенные выше аксиомы. А.Б. широко применяется при проектировании и проверке элек­трических схем, в которых используются реле, работающие по прин­ципу «да - нет», при программировании и проектировании ЭВМ, в операциях с переключателями, сигналами, схемами. В современ­ной математической логике этот раздел значительно усовершен­ствован и разрабатывается как теория булевых алгебр, в том числе как алгебра множеств, алгебра высказы­ваний и т. п. В области традиционной логики соотношения А. Б. часто используются для иллюстрации и прояснения отношений между объемами понятий.